I solidi Platonici

I cinque solidi platonici

Il fascino dei simboli vive anche nell'uomo moderno e si dice che meno sappiamo di un simbolo e più questo ci affascina. Può succedere anche il contrario, ovvero scoprire un aggancio scientifico con un simbolo antico e notare che il fascino aumenta come è successo quando si è scoperto che cristalli e molte molecole dei composti chimici si sviluppano o si aggregano solo secondo gli assi di simmetria dei cinque solidi platonici. Con questa scoperta la scienza ha confermato la sacralità di queste cinque forme che sono diventate anche per il grande pubblico gli archetipi delle forme del regno minerale.

Per secoli questi cinque solidi sono stati accettati per la grandezza del filosofo Platone ma incompresi per la mente del grande pubblico. Fanno eccezione gli artisti che subiscono il fascino delle forme e ne percepiscono l’essenza come Pier Della Francesca che nel 1492 scrisse il trattato "De Quinque Corporibus" e lo dedicò al Duca di Urbino. Anche il frate Luca Pacioli, amico di Leonardo e discepolo di Pier della Francesca scrisse e pubblicò nel 1494 il libro "Divina Proportione" (relativo alla geometria architettonica) nel quale esamina anche i cinque solidi platonici e i solidi "semiregolari" di Archimede. Oggi è rinato un certo interesse verso queste forme, infatti nel programma di alcune scuole è contemplata la loro costruzione in creta proprio perché in esse si nascondono affascinanti leggi geometriche. Ecco i cinque solidi regolari:

La caratteristica più appariscente dei solidi platonici (solidi regolari) è quella di essere inscritti in una sfera e di utilizzare solo una delle prime tre figure piane della geometria ovvero il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono. Se si vuol proseguire con successive forme si è costretti a utilizzare contemporaneamente due figure geometriche e per questo vengono chiamati solidi semi regolari. Archimede disegnò tredici tipi di solidi semi regolari. Invece la caratteristica più affascinante dei solidi platonici è la complementarietà del cubo con l’ottaedro e del dodecaedro con l’icosaedro. Infatti, se congiungiamo con delle rette il centro di ogni faccia di un cubo tracciamo un ottaedro e viceversa se partiamo dall’ottaedro. Questo vale anche col dodecaedro e icosaedro, invece il tetraedro riproduce se stesso. Osservando la fig. 10 si può immaginare che una forma abbia in grembo l’altra complementare, mentre il tetraedro può essere definito come un essere primordiale che si autogenera senza mutazioni.

Le caratteristiche di questi cinque solidi continuano a sorprenderci quando scopriamo che possono essere inscritti uno nell’altro sfruttando parte dei vertici oppure il punto centrale dei lati (3); ecco gli esempi più facili da disegnare:

L'icosaedro merita una particolare attenzione perchè ognuno dei suoi 30 lati ha un "lato gemello" ovvero parallelo e opposto a se stesso. Perciò sfruttando queste 15 coppie possiamo disegnare (all'interno dell'icosaedro) 15 rettangoli come mostrato alla destra della fig. 11a, invece alla sinistra di questa è dimostrato perchè il rapporto fra i lati di ogniuno di questi rettangoli è F.

Unendo il centro delle facce di un dodecaedro otteniamo l'icosaedro e vicevera. Per questo motivo anche all'interno del dodecaedro possiamo tracciare 15 rettangoli con il rapporto fra i lati uguale a F.

Un’ultima curiosità: su un piano si possono tracciare infinite figure poliedriche regolari mentre nello spazio solo cinque solidi regolari, ma nello spazio questi cinque solidi possono essere inscritti uno nell’altro mentre su un piano il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono non sono inscrivibili.
Questi solidi regolari e semiregolari hanno scomodato anche i matematici, infatti Eulero ha scoperto la seguente relazione fra il numero di vertici, facce e lati:

V + F = L + 2

	vertici	lati	facce	tipo di facce
tetraedro	4	6	4	triangolari
cubo	8	12	6	quadrate
ottaedro	6	12	8	triangolari
dodecaedro	20	30	12	pentagonali
icosaedro	12	30	20	triangolari

Questa tabella enfatizza ulteriormente la complementarietà fra cubo (8 vertici e 6 facce) e ottaedro (8 facce e 6 vertici) mentre la quantità dei lati non cambia; questa complementarietà vale anche fra dodecaedro e icosaedro.

Il disegno sopra in grigio prende lo spunto da questo fascino nascosto e pone in cerchio i solidi platonici per rappresentare il regno minerale. Ma quest’ultimo trasmette, tramite le sue forme, anche un senso di rigidità, di durezza e di spigolosità ma soprattutto dà la sensazione di un destino fatale che tiene prigioniere le forme. Questa sensazione si può provare anche in chimica dove i legami atomici e molecolari costituiscono una prigione invisibile della materia, per esempio gli atomi del diamante sono imprigionati in una struttura tetraedrica. Ma quando la vita nobilita la materia ecco che appare il simbolo della libertà ovvero la curva. Il cerchio è il primo passo verso una libertà geometrica, una curva primordiale definita da un solo parametro ma la più bella immagine di libertà si ottiene con la spirale logaritmica che, guarda caso, nasconde in sé la sezione aurea. Un caso particolare è l’ellisse che nasconde una retta nella distanza dei suoi due fuochi. L’espressione di libero arbitrio e destino si può ottenere anche in architettura con un armonico connubio fra curva e retta e in questo modo si fa anche tesoro delle parole di Keplero che nel suo libro "Harmonices Mundi" si esprime così: l’Onnisciente ha creato il mondo delle grandezze il cui essere unitario è racchiuso nella differenza fra la linea retta e la linea curva.

La spirale di Fibonacci e la successione numerica

L

In questa pagina trovi l'animazione geometrica, che mostra la relazione tra la successione numerica dei numeri di Fibonacci, la disposizione geometrica dei quadrati, i cui lati crescono di misura come gli stessi numeri, e la geometria della spirale logaritmica. Inoltre, puoi farti calcolare per iterazione l'ennesimo numero di Fibonacci, ottenuto dalla somma dei due precedenti.

La relazione tra i numeri di Fibonacci e la spirale logaritmica si rivela evidente se si costruisce una serie di quadrati in cui il lato di ognuno di questi è dato dalla somma delle misure dei lati dei due precedenti. Se li disponiamo come in figura e tracciamo un arco di cerchio avente per raggio il lato del quadrato, la figura che si ottiene è una spirale logaritmica.

La spirale logaritmica è intimamente legata ai numeri di Fibonacci (Pisa 1180-1250), in cui ogni termine è dato dalla somma dei due precedenti: 1,1,2,3,5,8,.... La sua scoperta risale al 1202. La particolarità tra questi numeri è che il rapporto tra due termini successivi si avvicina molto rapidamente al numero decimale 0,618: 1:2=0,500 2:3=0,667 3:5=0,6 5:8=0,625 8:13 = 0,615 ... 34:55=0,618

Il numero irrazionale, di cui 0,618 è una approssimazione, è noto con il nome di numero Aureo, e viene definito come il rapporto della sezione aurea, o proporzione aurea. Tale rapporto è stato considerato, sin dalla sua scoperta, come rappresentazione della legge universale dell'armonia. La proporzione aurea fu molto utilizzata dagli antichi Greci come rapporto armonico nelle costruzioni architettoniche, le ritroviamo nelle piramide egizie e nel Partenone nell'Acropoli Ateniese, e nelle rappresentazioni scultoree, per esempio nelle proporzioni delle Cariatidi che reggono l'Eretteo. Il rapporto aureo fu largamente ripreso anche nel Rinascimento: le dimensioni della Monnalisa, di Leonardo da Vinci, sono in rapporto aureo. E ancora fino ai giorni nostri, nell'architettura moderna: il Palazzo di Vetro delle Nazione Unite ha proporzioni auree. La sequenza di Fibonacci è abbondantemente rappresentata anche in musica, ad esempio nelle “fughe” di Johann Sebastian Bach, nelle sonate di Mozart, nella Quinta Sinfonia di Beethoven, nella Sonata in la D 959 di Schubert; l’esempio più elevato di applicazione su vasta scala degli stilemi improntati alla proporzione aurea è dato dalla Sagra della Primavera di Strawinski.




Gli andamenti del mercato azionario, l'accrescimento biologico di alcune specie, la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo e la disposizione dei petali e dei semi in alcuni tipi di fiori quali il girasole, spesso presentano schemi riconducibili a quello dei numeri di Fibonacci. Il Nautilus, un mollusco di grandi dimensioni che ha la sezione del guscio come una perfetta spirale logaritmica ci dimostra come la sezione aurea sia l'espressione matematica della bellezza e della eleganza della natura.